Determine o ângulo entre os planos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede pra gente encontrar o ângulo entre dois planos:
e
. A matéria que vamos usar aqui é sobre vetor normal de planos e como calcular o ângulo entre eles. Vamos precisar identificar os vetores normais de cada plano e usar a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que todo plano tem um vetor normal, que é um vetor perpendicular ao plano. A gente pode identificar esse vetor normal olhando para os coeficientes de
,
e
na equação do plano.
No primeiro plano,
, o vetor normal é $ \mathbf{n}_1 = (1, 1, 1) $.
No segundo plano,
, o vetor normal é $ \mathbf{n}_2 = (1, -2, 3) $.
Passo 3
Agora que temos os vetores normais, vamos usar a fórmula do cosseno do ângulo (
) entre eles. A fórmula é:
Aqui,
é o produto escalar dos vetores e
e
são as magnitudes dos vetores.
Passo 4
Vamos calcular o produto escalar $ \mathbf{n}_1 \cdot \mathbf{n}_2 $:
Passo 5
Agora, vamos calcular as magnitudes dos vetores:
Passo 6
Substituindo esses valores na fórmula do cosseno:
Para achar o ângulo
, vamos usar a função arco cosseno:
Resposta
O ângulo entre os planos é aproximadamente $ \theta \approx 75,96^\circ $.