Determine o ângulo entre os planos x+y+z=1 e x-2 y+3 z=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede pra gente encontrar o ângulo entre dois planos: x + y + z = 1 e x - 2y + 3z = 1. A matéria que vamos usar aqui é sobre vetor normal de planos e como calcular o ângulo entre eles. Vamos precisar identificar os vetores normais de cada plano e usar a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que todo plano tem um vetor normal, que é um vetor perpendicular ao plano. A gente pode identificar esse vetor normal olhando para os coeficientes de x, y e z na equação do plano.
No primeiro plano, x + y + z = 1, o vetor normal é $ \mathbf{n}_1 = (1, 1, 1) $.
No segundo plano, n1 = (1, 1, 1) , o vetor normal é $ \mathbf{n}_2 = (1, -2, 3) $.

Passo 3

Agora que temos os vetores normais, vamos usar a fórmula do cosseno do ângulo ( theta) entre eles. A fórmula é:
cos theta = n1 cdot n2|n1| cdot |n2|
Aqui, n1 cdot n2 é o produto escalar dos vetores e |n1| e |n2| são as magnitudes dos vetores.

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar $ \mathbf{n}_1 \cdot \mathbf{n}_2 $:
n1 cdot n2

Passo 5

Agora, vamos calcular as magnitudes dos vetores:
|n1| = raiz1^2 + 1^2 + 1^2 = raiz3
|n2| = raiz1^2 + (-2)^2 + 3^2 = raiz1 + 4 + 9 = raiz14

Passo 6

Substituindo esses valores na fórmula do cosseno:
cos theta = 2raiz3 cdot raiz14 = 2raiz42
Para achar o ângulo theta, vamos usar a função arco cosseno:
theta = arccos(2raiz42)

Resposta

O ângulo entre os planos é aproximadamente $ \theta \approx 75,96^\circ $.

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