Mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (0,0) raiz[3]x y^2x+y^3

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
lim(x,y)to(0,0)raiz[3]x,y^2x+y^3
não existe. Estamos tratando de limite de função de duas variáveis, e para provar que não existe basta encontrar duas trajetórias para (x,y)to(0,0) que levem a resultados diferentes (ou um finito e outro infinito).

Passo 2

Analisamos primeiro a trajetória y=0. Nesse caso, para xneq0 tem-se
raiz[3]x,y^2=raiz[3]xcdot0^2=0,
x+y^3=x+0^3=x,
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raiz[3]x,y^2x+y^3 =0x=0
Portanto, ao longo de y=0, o limite vale
limxto0raiz[3]xcdot0^2x+0^3=0

Passo 3

Agora escolhemos a curva x=y^3. Parametrizamos por y=t, de modo que x=t^3 e tto0. Então
raiz[3]x,y^2 =raiz[3]t^3cdot t^2 =raiz[3]t^5 =t^5/3,
x+y^3 =t^3+t^3 =2,t^3
O quociente fica
raiz[3]x,y^2x+y^3 =t^5/32,t^3 =12;t^5/3-3 =12;t^-4/3
Como t^-4/3to+infty quando tto0, essa trajetória leva a
limtto012,t^-4/3=+infty

Resposta

Como pela reta y=0 obtemos limite 0 e pela curva x=y^3 obtemos +infty, o limite geral não existe.

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