Calcule:
L^-1s(alpha+1)^2(s^2+1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a transformada inversa de Laplace da função:
L^-1s(alpha+1)^2(s^2+1)
Aqui, estamos lidando com Transformadas de Laplace, uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como decompor a fração e usar propriedades básicas das transformadas de Laplace.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão. Note que (alpha+1)^2 é uma constante em relação a s, então podemos fatorá-la para facilitar a manipulação:
s(alpha+1)^2(s^2+1) = 1(alpha+1)^2 cdot ss^2 + 1
Isso nos ajuda a separar a constante da função que queremos transformar.

Passo 3

Agora, vamos focar na parte ss^2 + 1. Sabemos que a transformada inversa de Laplace de ss^2 + a^2 é cos(a t). No nosso caso, a = 1, então:
L^-1ss^2 + 1 = cos(t)
Isso é uma das transformadas inversas básicas que usamos com frequência.

Passo 4

Voltando à nossa expressão original, já extraímos a constante 1(alpha+1)^2, e vimos que a transformada inversa de ss^2 + 1 é cos(t). Como a transformada inversa é linear, podemos multiplicar a constante pela função resultante:
L^-11(alpha+1)^2 cdot ss^2 + 1 = 1(alpha+1)^2 cdot cos(t)

Resposta

Então, a transformada inversa de Laplace da função dada é:
cos(t)(alpha+1)^2

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