Encontre a solução geral para a equação não-homogênea dada. Defina um intervalo onde a solução apresentada é válida.
g)
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial não-homogênea
que é uma EDO linear com coeficientes constantes. Para resolver, primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada e depois buscamos uma solução particular para o termo não-homogêneo, que neste caso é a soma de um polinômio em e de um termo exponencial.
Passo 2
A equação característica da parte homogênea
fatora como , tendo raiz dupla . Logo, a solução geral da homogênea é
Passo 3
Buscamos uma solução particular
Derivando e substituindo em e igualando a , obtemos o sistema
Resolvendo, achamos e . Assim,
Passo 4
Agora tratamos o termo -12e^3x. Como e^3x coincide com a raiz r=3 de multiplicidade 2, multiplicamos a ansatz usual por x^2. Propondo
yp2(x) = K,x^2 e^3x,
calculamos yp2', yp2'' e substituímos em y'' -6y' +9y. O cálculo dá
y'' -6y' +9y = 2K,e^3x,
que deve ser igual a -12e^3x. Daí 2K = -12, ou seja K = -6. Portanto
yp2(x) = -6,x^2 e^3x
Passo 5
A solução geral da EDO não-homogênea é a soma da homogênea com as particulares: