Encontre a solução geral para a equação não-homogênea dada. Defina um intervalo onde a solução apresentada é válida.
g) y^prime prime-6 y^prime+9 y=6 x^2+2-12 e^3 x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial não-homogênea
y'' - 6y' + 9y = 6x^2 + 2 - 12e^3x,
que é uma EDO linear com coeficientes constantes. Para resolver, primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada e depois buscamos uma solução particular para o termo não-homogêneo, que neste caso é a soma de um polinômio em x e de um termo exponencial.

Passo 2

A equação característica da parte homogênea
r^2 - 6r + 9 = 0
fatora como (r-3)^2 = 0, tendo raiz dupla r=3. Logo, a solução geral da homogênea é
yh(x) = l(C1 + C2,xr)e^3x

Passo 3

Buscamos uma solução particular
Derivando e substituindo em e igualando a , obtemos o sistema
Resolvendo, achamos e . Assim,

Passo 4

Agora tratamos o termo -12e^3x. Como e^3x coincide com a raiz r=3 de multiplicidade 2, multiplicamos a ansatz usual por x^2. Propondo
yp2(x) = K,x^2 e^3x,
calculamos yp2', yp2'' e substituímos em y'' -6y' +9y. O cálculo dá
y'' -6y' +9y = 2K,e^3x,
que deve ser igual a -12e^3x. Daí 2K = -12, ou seja K = -6. Portanto
yp2(x) = -6,x^2 e^3x

Passo 5

A solução geral da EDO não-homogênea é a soma da homogênea com as particulares:
y(x) = yh(x) + yp1(x) + yp2(x) =l(C1 + C2,xr)e^3x -6x^2 e^3x +23x^2 + 89x + 23
Podemos reescrever o termo exponencial como l(C1 + C2,x -6x^2r)e^3x, mas a forma acima já deixa claro a contribuição de cada parte.

Passo 6

Por se tratar de uma equação com coeficientes constantes, essa solução é válida para todo xinR.

Resposta

y(x) =l(C1 + C2,x -6x^2r)e^3x +23x^2 + 89x + 23, xin(-infty,infty)

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