Considere a equação
. Encontre, se existir, as soluções dos seguintes PVIs e PVCs.
8) Encontre a solução geral para a equação não-homogênea dada. Defina um intervalo onde a solução apresentada é válida.
a)
8) Encontre a solução geral para a equação não-homogênea dada. Defina um intervalo onde a solução apresentada é válida.
a)
Passo 1
O enunciado pede a solução geral de uma equação diferencial não\mbox{-}homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes:
O conteúdo aqui é resolver primeiro a parte homogênea associada e depois encontrar um particular para a parte não\mbox{-}homogênea. Como os coeficientes são constantes, a solução vale em todo o eixo real.
Passo 2
Para a parte homogênea, escrevemos a equação característica:
Resolvendo,
raiz dupla. Logo a solução homogênea é
Passo 3
Para um particular, como o termo não\mbox{-}homogêneo é um polinômio de grau
, tentamos
Então
Substituindo na equação:
ou seja
Igualando coeficientes de
e termo constante:
Logo
Passo 4
A solução geral da equação não\mbox{-}homogênea é a soma de
com
:
Passo 5
Como os coeficientes são constantes e não há singularidades, esta solução vale para todo
.
Resposta
A solução geral é
válida em
.