Considere a equação y^prime prime-2 y^prime+2 y=0. Encontre, se existir, as soluções dos seguintes PVIs e PVCs.
8) Encontre a solução geral para a equação não-homogênea dada. Defina um intervalo onde a solução apresentada é válida.
a) y^prime prime-10 y^prime+25 y=30 x+3

Passo 1

O enunciado pede a solução geral de uma equação diferencial não\mbox{-}homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes:
y'' -10y' +25y = 30x + 3
O conteúdo aqui é resolver primeiro a parte homogênea associada e depois encontrar um particular para a parte não\mbox{-}homogênea. Como os coeficientes são constantes, a solução vale em todo o eixo real.

Passo 2

Para a parte homogênea, escrevemos a equação característica:
r^2 -10r +25 = 0
Resolvendo,
r = 10 pm raiz(-10)^2 -4cdot1cdot252 = 10 pm 02 = 5
raiz dupla. Logo a solução homogênea é
yh(x) = C1 e^5x + C2,x,e^5x

Passo 3

Para um particular, como o termo não\mbox{-}homogêneo é um polinômio de grau 1, tentamos
yp(x) = A x + B
Então
yp' = A, yp'' = 0
Substituindo na equação:
0 -10A +25(Ax + B) = 30x + 3
ou seja
25A,x + l(-10A +25Br) = 30x + 3
Igualando coeficientes de x e termo constante:
25A = 30 Rightarrow A = 65,
-10A +25B = 3 Rightarrow -10cdot65 +25B = 3 Rightarrow -12 +25B = 3 Rightarrow B = 35
Logo
yp(x) = 65x + 35

Passo 4

A solução geral da equação não\mbox{-}homogênea é a soma de yh com yp:
y(x) = C1 e^5x + C2,x,e^5x + 65x + 35

Passo 5

Como os coeficientes são constantes e não há singularidades, esta solução vale para todo xinR.

Resposta

A solução geral é
y(x) = C1 e^5x + C2,x,e^5x + 65x + 35,
válida em (-infty,infty).

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