Mostre, calculando o Wronskiano, que as funções dadas são linearmente independentes no intervalo indicado.
d) 1+x, x, x^2 ;]-infty,+infty[

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que as funções
,f1(x)=1+x, ,f2(x)=x e ,f3(x)=x^2
são linearmente independentes no intervalo (-infty,+infty) usando o Wronskiano.
O conteúdo principal aqui é o uso do critério de Wronskiano: se
,W(x)neq0 para todo x no intervalo, então as funções são linearmente independentes.

Passo 2

Calculamos as primeiras e segundas derivadas:
f1'(x)=1, f1''(x)=0, f2'(x)=1, f2''(x)=0, f3'(x)=2x, f3''(x)=2

Passo 3

Montamos o Wronskiano
W(x)= 1+x & x & x^2 1 & 1 & 2x 0 & 0 & 2
e calculamos expandindo pela terceira linha:
W(x)=2, 1+x & x 1 & 1 =2l[(1+x)cdot1 - xcdot1r] =2cdot1 =2

Passo 4

Como ,W(x)=2neq0 para todo xin(-infty,+infty), o critério do Wronskiano garante que
,f1,f2,f3 são linearmente independentes em todo o intervalo.

Resposta

As funções ,1+x, ,x e ,x^2 são linearmente independentes em (-infty,+infty), pois seu Wronskiano é igual a 2neq0 nesse intervalo.

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