Encontre a solução geral para a equação diferencial homogênea dada.
7) Considere a equação y^prime prime-2 y^prime+2 y=0. Encontre, se existir, as soluções dos seguintes PVIs e PVCs:
a) y(0)=1 e y^prime(0)=0

Passo 1

Estamos diante de uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 2y' + 2y = 0
e condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=0. Para resolver, vamos (1) montar a equação característica, (2) obter a solução geral a partir das raízes, e (3) aplicar o PVI para determinar as constantes.

Passo 2

Escrevemos a equação característica substituindo ysim e^rx:
r^2 - 2r + 2 = 0
O discriminante é De<a = (-2)^2 - 4cdot1cdot2 = 4 - 8 = -4, logo as raízes são complexas:
r = 2 pm raiz-42 = 1 pm i

Passo 3

Para raízes r = alpha pm ibeta com alpha=1 e beta=1, a solução geral é
y(x) = e^alpha xl(C1cos(beta x) + C2sin(beta x)r) = e^xl(C1cos x + C2sin xr)

Passo 4

Calculamos y(0) e y'(0) para achar C1 e C2.
Em x=0:
y(0)=e^0(C1cos0 + C2sin0)=C1=1
Para y'(x) usamos derivação do produto:
y'(x)=e^x(C1cos x + C2sin x)+e^x(-C1sin x + C2cos x) =e^xl[C1(cos x-sin x)+C2(sin x+cos x)r]
Em x=0:
y'(0)=1l[C1(1-0)+C2(0+1)r]=C1 + C2=0 Rightarrow C2=-C1=-1

Passo 5

Substituindo C1=1 e C2=-1 na solução geral, obtemos a solução do PVI:
y(x)=e^xl(cos x - sin xr)

Resposta

y(x)=e^xl(cos x - sin xr)

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