Encontre a solução geral para a equação diferencial homogênea dada.
7) Considere a equação
. Encontre, se existir, as soluções dos seguintes PVIs e PVCs:
a)
e
7) Considere a equação
a)
Passo 1
Estamos diante de uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
e condições iniciais
e
. Para resolver, vamos (1) montar a equação característica, (2) obter a solução geral a partir das raízes, e (3) aplicar o PVI para determinar as constantes.
Passo 2
Escrevemos a equação característica substituindo
:
O discriminante é
, logo as raízes são complexas:
Passo 3
Para raízes
com
e
, a solução geral é
Passo 4
Calculamos
e
para achar
e
.
Em :
Em
Para
usamos derivação do produto:
Em
:
Passo 5
Substituindo
e
na solução geral, obtemos a solução do PVI: