Calcule
exp (i pi / 4)[cos (pi / 6)+i sen(pi / 6)]^3

Passo 1

O enunciado pede para calcular a expressão envolvendo números complexos em forma exponencial e trigonométrica:
expl(ipi/4r),l[cos(pi/6)+isen(pi/6)r]^3
Aqui vamos usar a fórmula de Euler exp(itheta)=cos(theta)+isen(theta) e o Teorema de De Moivre para elevar à potência.

Passo 2

Primeiro reconhecemos que
cosl(tfracpi6r)=tfracraiz32, senl(tfracpi6r)=tfrac12,
logo
cosl(tfracpi6r)+isenl(tfracpi6r) =raiz32+i12 =exp!l(itfracpi6r)

Passo 3

Aplicando o Teorema de De Moivre, elevamos ao cubo:
l[exp!l(itfracpi6r)r]^3 =exp!l(icdot3cdottfracpi6r) =exp!l(itfracpi2r)

Passo 4

Agora multiplicamos por exp(ipi/4):
exp!l(itfracpi4r)timesexp!l(itfracpi2r) =exp!l(il(tfracpi4+tfracpi2r)r) =exp!l(itfrac3pi4r)

Passo 5

Finalmente, voltamos à forma trigonométrica:
exp!l(itfrac3pi4r) =cos!l(tfrac3pi4r) +isen!l(tfrac3pi4r) =-raiz22 +iraiz22

Resposta

-raiz22 ;+; i,raiz22

Exercícios relacionados