Circunscrever em torno de um cilindro, um cone circular reto de menor volume possível (os planos e centros de suas bases coincidem).
Passo 1
O enunciado pede que, dado um cilindro de raio
e altura
, circunscrevamos um cone circular reto de menor volume possível de modo que o plano da base do cone coincida com o plano de uma base do cilindro e os centros dessas bases também coincidam.
Conteúdo: otimização de função de uma variável com restrição geométrica (semelhança de triângulos e derivada para mínimo).
Conteúdo: otimização de função de uma variável com restrição geométrica (semelhança de triângulos e derivada para mínimo).
Passo 2
Seja
o raio da base do cone e
sua altura. Pelo centro e base coincidentes, o eixo do cone e do cilindro é o mesmo. Num corte axial, as geratrizes do cone formam triângulos semelhantes, de modo que, a uma altura
acima da base do cone, o raio da seção do cone é
Para conter o cilindro, em
devemos ter
. A configuração de mínimo volume ocorrerá no caso limite
Passo 3
Da igualdade acima isolamos
:
O volume do cone é
Passo 4
Para minimizar
com
, derivamos em relação a
:
A raiz não nula de
é
Passo 5
Substituindo
em
vem
O volume mínimo vale
Resposta
O cone de menor volume que circunscreve o cilindro tem raio de base
altura
e volume mínimo