Circunscrever em torno de um cilindro, um cone circular reto de menor volume possível (os planos e centros de suas bases coincidem).

Passo 1

O enunciado pede que, dado um cilindro de raio r e altura h, circunscrevamos um cone circular reto de menor volume possível de modo que o plano da base do cone coincida com o plano de uma base do cilindro e os centros dessas bases também coincidam.
Conteúdo: otimização de função de uma variável com restrição geométrica (semelhança de triângulos e derivada para mínimo).

Passo 2

Seja R o raio da base do cone e H sua altura. Pelo centro e base coincidentes, o eixo do cone e do cilindro é o mesmo. Num corte axial, as geratrizes do cone formam triângulos semelhantes, de modo que, a uma altura z acima da base do cone, o raio da seção do cone é
R(z)=Rl(1-zHr)
Para conter o cilindro, em z=h devemos ter R(h)>= r. A configuração de mínimo volume ocorrerá no caso limite
Rl(1-hHr)=r

Passo 3

Da igualdade acima isolamos H:
1-hH=rR Longrightarrow H=h1-tfracrR
O volume do cone é
V(R)=13pi R^2,H =pi h3,R^21-tfracrR =pi h3,R^3R-r

Passo 4

Para minimizar V(R) com R>r, derivamos em relação a R:
V'(R) =pi h3,R^2(2R-3r)(R-r)^2
A raiz não nula de V'(R)=0 é
2R-3r=0 Longrightarrow R=3r2

Passo 5

Substituindo R=tfrac3r2 em H=tfrach1-r/R vem
H=h1-tfracrtfrac3r2 =h1-tfrac23 =3h
O volume mínimo vale
Vmin =13pil(3r2r)^2(3h) =94,pi r^2h

Resposta

O cone de menor volume que circunscreve o cilindro tem raio de base
R=3r2,
altura
H=3h
e volume mínimo
Vmin=94,pi r^2h

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