Mostre que
, para
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
para todo
. Vamos usar derivadas e monotonicidade: definiremos uma função cuja positividade implica a desigualdade desejada.
Passo 2
Defina
Então
Passo 3
Sabemos que
para todo
, logo
Isso mostra que
é crescente em
. Ademais, em
temos
(exceto nos pontos múltiplos de
), então
quase sempre em
, garantindo que
seja estritamente crescente em
.
Passo 4
Calculamos o valor inicial:
Para
, como
é estritamente crescente, segue
Para
, usamos
e obtemos
Em ambos os casos
, isto é,
.
Resposta
Para todo
, tem-se