Mostre que x>sen x, para x>0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que ,x>sin x para todo x>0. Vamos usar derivadas e monotonicidade: definiremos uma função cuja positividade implica a desigualdade desejada.

Passo 2

Defina
f(x)=x-sin x
Então
f'(x)=1-cos x

Passo 3

Sabemos que cos x<=1 para todo x, logo
f'(x)=1-cos x>=0
Isso mostra que f é crescente em [0,infty). Ademais, em (0,2pi) temos cos x<1 (exceto nos pontos múltiplos de 2pi), então f'(x)>0 quase sempre em (0,2pi), garantindo que f seja estritamente crescente em [0,2pi].

Passo 4

Calculamos o valor inicial:
f(0)=0-sin0=0
Para xin(0,2pi], como f é estritamente crescente, segue
f(x)>f(0)=0
Para x>2pi, usamos sin x<=1 e obtemos
f(x)=x-sin x>= x-1>2pi-1>0
Em ambos os casos ,f(x)>0, isto é, x-sin x>0.

Resposta

Para todo x>0, tem-se
x>sin x

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