Calcule
exp (i pi / 3)[sen(pi / 6)+i cos (pi / 6)]^3

Passo 1

O enunciado pede para calcular
expl(ipi3r)l[senl(pi6r)+icosl(pi6r)r]^3
Aqui vamos usar a fórmula de Euler
exp(itheta)=costheta+isentheta
e o teorema de De Moivre
l[exp(itheta)r]^n=exp(i ntheta),
além de saber os valores de sen(pi/6) e cos(pi/6).

Passo 2

Calcular sen(pi/6) e cos(pi/6):
senl(tfracpi6r)=tfrac12, cosl(tfracpi6r)=tfracraiz32
Logo o termo entre colchetes fica
senl(tfracpi6r)+icosl(tfracpi6r) =tfrac12 + i,tfracraiz32

Passo 3

Reconhecer que
tfrac12 + i,tfracraiz32 =cosl(tfracpi3r)+isenl(tfracpi3r) =expl(itfracpi3r)

Passo 4

Aplicar o teorema de De Moivre para elevar ao cubo:
l[exp(itfracpi3)r]^3 =expl(itimes3timestfracpi3r) =exp(ipi)

Passo 5

Agora multiplicar pelo fator inicial exp(ipi/3):
expl(itfracpi3r)cdotexp(ipi) =exp!l(i(tfracpi3+pi)r) =expl(itfrac4pi3r)

Passo 6

Converter o resultado para a forma a+ib usando a fórmula de Euler:
expl(itfrac4pi3r) =cosl(tfrac4pi3r)+isenl(tfrac4pi3r) =-tfrac12 - i,tfracraiz32

Resposta

-tfrac12 - i,tfracraiz32

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