Calcule todas as raízes e identifique-as no plano complexo:
((-9 i)^1 / 2)^3

Passo 1

O enunciado pede para calcular todas as possíveis valores de
l((-9,i)^1/2r)^3
e identificá-los no plano complexo. O conteúdo envolvido é extração de raízes de números complexos e uso da forma polar com o Teorema de De Moivre.

Passo 2

Escrevemos z=-9,i em forma polar. Primeiro o módulo e o argumento:
|z| = l|-9,ir| = 9, arg(z) = -tfracpi2 ;(ou tfrac3pi2, mas usamos -tfracpi2)
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z = 9,e^-ipi/2

Passo 3

As raízes quadradas de z são dadas por
wk = raiz9,exp!l(i-tfracpi2 + 2pi k2r) = 3,e^,il(-tfracpi4 + kpir), k=0,1
Assim temos duas raízes:
w0 = 3,e^-ipi/4, w1 = 3,e^,i3pi/4

Passo 4

Agora elevamos cada wk ao cubo:
wk^3 = 3^3,e^,i3l(-tfracpi4+kpir) = 27,e^,il(-tfrac3pi4+3kpir)
Para k=0:
w0^3 = 27,e^-i3pi/4 = 27,e^,i5pi/4
Para k=1:
w1^3 = 27,e^,i( -3pi/4 +3pi) = 27,e^,i9pi/4 = 27,e^,ipi/4

Passo 5

Passamos para forma cartesiana e identificamos no plano:
27,e^,ipi/4 = 27l(costfracpi4+isintfracpi4r) = 27raiz2 + i,27raiz2,
27,e^,i5pi/4 = 27l(costfrac5pi4+isintfrac5pi4r) = -27raiz2 - i,27raiz2
No plano complexo, essas duas raízes ficam nos pontos de raio 27 e ângulos tfracpi4 e tfrac5pi4.

Resposta

As duas possíveis valores de l((-9,i)^1/2r)^3 são
27,e^,ipi/4 = 27raiz2 + i27raiz2, 27,e^,i5pi/4 = -27raiz2 - i27raiz2
Eles se situam no plano complexo nos vetores de módulo 27 e argumentos tfracpi4 (primeiro quadrante) e tfrac5pi4 (terceiro quadrante).

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