Calcule todas as raízes e identifique-as no plano complexo:
(-1raiz2+iraiz2)^16

Passo 1

Temos o número complexo
z = -1raiz2 + iraiz2
e queremos todas as raízes sextas de z, isto é, todos os w tais que
w^6 = z
Para isso, vamos converter z para a forma polar (módulo-argumento) e aplicar a fórmula de De Moivre para radiciação.

Passo 2

Calculamos o módulo e o argumento de z.
O módulo é
|z| = raizl(-1raiz2r)^2 + l(1raiz2r)^2 = raiz12 + 12 = 1
Para o argumento usamos
arg(z) = arctan!l(tfracIm zRe zr) = arctan!l(tfrac1/raiz2-1/raiz2r) = arctan(-1)
Como Re z<0 e Im z>0, temos arg(z)=3pi4. Logo
z = e^,i,3pi/4

Passo 3

A fórmula geral para as n-ésimas raízes de um complexo re^itheta é
wk = r^1/n,expl(i,theta + 2pi knr),
com k=0,1,dots,n-1. Aqui n=6, r=1 e theta=3pi/4.

Passo 4

Como r=1, tem r^1/6=1. Portanto as raízes sextas de z são
wk = exp!l(i,3pi/4 + 2pi k6r) = exp!l(il(tfracpi8 + tfrackpi3r)r),
com k=0,1,2,3,4,5.

Passo 5

Em forma trigonométrica, cada raiz vale
wk = cos!l(tfracpi8 + tfrackpi3r) + i,sin!l(tfracpi8 + tfrackpi3r),
para k=0,1,2,3,4,5. No plano complexo, esses seis pontos estão distribuídos uniformemente na circunferência unitária, formando um hexágono regular rotacionado de pi/8 em relação ao eixo real positivo.

Resposta

wk = exp!l(il(tfracpi8 + tfrackpi3r)r) = cos!l(tfracpi8 + tfrackpi3r) + i,sin!l(tfracpi8 + tfrackpi3r), k=0,1,2,3,4,5
São seis pontos na circunferência unitária, igualmente espaçados a 60^circ, com o primeiro em ângulo pi/8.

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