Calcule integral sen(3 x) cos (3 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral sin(3x) cos(3x) , dx. Esse exercício faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar uma identidade trigonométrica que simplifica o produto de seno e cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma identidade trigonométrica útil que transforma o produto de seno e cosseno em uma única função seno. A identidade é:
sin(A) cos(A) = 12 sin(2A)
Aqui, A é a expressão dentro das funções trigonométricas. No nosso caso, A = 3x.

Passo 3

Aplicando a identidade com A = 3x, temos:
sin(3x) cos(3x) = 12 sin(6x)
Isso simplifica a integral original para:
integral sin(3x) cos(3x) , dx = 12 integral sin(6x) , dx

Passo 4

Agora, vamos integrar sin(6x). A integral de sin(kx) em relação a x é:
integral sin(kx) , dx = -1k cos(kx) + C
Onde k é uma constante e C é a constante de integração.

Passo 5

Aplicando essa fórmula com k = 6, temos:
12 integral sin(6x) , dx = 12 ( -16 cos(6x) ) + C = -112 cos(6x) + C

Resposta

A integral integral sin(3x) cos(3x) , dx é igual a -112 cos(6x) + C, onde C é a constante de integração.

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