Utilizando técnicas de integração, determine:
integral 2x^2+(b+a) x+a b d x(a neq b).

Passo 1

A gente quer calcular a integral I = integral 2x^2+(a+b)x+ab,dx, que é uma integral de função racional. Para resolver, vamos usar a técnica de frações parciais, já que o denominador é um polinômio de segundo grau que pode ser fatorado.

Passo 2

O denominador é x^2 + (a+b)x + ab. Como a neq b, podemos fatorar em dois fatores lineares distintos:
x^2 + (a+b)x + ab = (x + a)(x + b)

Passo 3

Pela teoria de frações parciais, podemos escrever
2(x+a)(x+b) = Ax+a + Bx+b

Passo 4

Para achar A e B, multiplicamos ambos os lados por (x+a)(x+b) e igualamos coeficientes:
2 = A(x+b) + B(x+a) = (A+B)x + (Ab + Ba)
Da comparação de coeficientes vem
A + B = 0 e Ab + Ba = 2

Passo 5

Como B = -A, substituindo em Ab + B a = 2
A(b - a) = 2 implies A = 2b - a, B = -2b - a

Passo 6

Então a integral vira
I = integral l(2/(b-a)x+a - 2/(b-a)x+br)dx = 2b-aintegral dxx+a - 2b-aintegral dxx+b

Passo 7

Integrando, usamos integral dxx+c = ln|x+c| + C, o que dá
I = 2b-aln|x+a| - 2b-aln|x+b| + C

Passo 8

Podemos juntar os logaritmos:
I = 2b-alnl|x+ax+br| + C

Resposta

integral 2x^2+(a+b)x+ab,dx = 2b-alnl|x+ax+br| + C.

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