Calcule integral sen(5 x) cos (x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral sin(5x) cos(x) , dx. Esse problema tá dentro do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente envolvendo identidades trigonométricas para simplificar a expressão antes de integrar. Para resolver, vamos precisar utilizar uma identidade que transforma o produto de seno e cosseno em uma soma de senos.

Passo 2

Primeiro, vamos usar a identidade trigonométrica que diz:
sin(A) cos(B) = sin(A + B) + sin(A - B)2
Aqui, A = 5x e B = x. Aplicando essa identidade, temos:
sin(5x) cos(x) = sin(5x + x) + sin(5x - x)2 = sin(6x) + sin(4x)2
Então, a integral passa a ser:
integral sin(5x) cos(x) , dx = integral sin(6x) + sin(4x)2 , dx

Passo 3

Agora, vamos integrar cada termo separadamente. Lembrando que a integral de sin(kx) é -cos(kx)k, onde k é uma constante.
Integrando:
integral sin(6x) + sin(4x)2 , dx = 12 integral sin(6x) , dx + 12 integral sin(4x) , dx
= 12 ( -cos(6x)6 ) + 12 ( -cos(4x)4 )
= -cos(6x)12 - cos(4x)8

Resposta

A integral de sin(5x) cos(x) é:
-cos(6x)12 - cos(4x)8 + C
onde C é a constante de integração.

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