Calcule integral sec ^2(x)3+2 tg(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral sec^2(x)3 + 2 tan(x) , dx. Esse exercício está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente envolvendo técnicas de substituição. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar a expressão e aplicar uma substituição adequada.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a expressão dentro da integral: sec^2(x)3 + 2 tan(x). Perceba que a derivada de tan(x) é sec^2(x), o que sugere que podemos usar uma substituição para simplificar a integral.

Passo 3

Vamos fazer a substituição u = 3 + 2 tan(x). Então, precisamos encontrar a derivada de u em relação a x:
dudx = 2 sec^2(x)

Passo 4

Agora, resolvemos para dx:
dx = du2 sec^2(x)

Passo 5

Substituindo u e dx na integral original, temos:
integral sec^2(x)u cdot du2 sec^2(x) = integral 12u , du

Passo 6

A integral integral 12u , du é simples de resolver:
12 integral 1u , du = 12 ln|u| + C

Passo 7

Agora, substituímos u de volta para a expressão original:
12 ln|3 + 2 tan(x)| + C

Resposta

A integral integral sec^2(x)3 + 2 tan(x) , dx é igual a 12 ln|3 + 2 tan(x)| + C, onde C é a constante de integração.

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