(Cálculo da derivada pela definição - 3,0 pontos) Ache
usando a definição de derivada.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada de
usando a definição de derivada. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo, especificamente sobre derivadas pela definição. Para isso, vamos usar a fórmula do limite que define a derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a definição de derivada. A derivada de
em relação a
, representada por
, é o limite quando
se aproxima de zero de:
No nosso caso,
. Então, vamos substituir na fórmula:
Passo 3
Agora, para resolver esse limite, precisamos simplificar a expressão. Lidar com raízes cúbicas pode ser um pouco complicado, mas podemos usar uma técnica de racionalização para facilitar.
Sabemos que:
Vamos adaptar isso para o nosso caso. Vamos multiplicar numerador e denominador pela soma das raízes cúbicas elevadas ao quadrado e multiplicadas entre si:
Passo 4
Ao multiplicar, o numerador fica:
Então a expressão fica:
Passo 5
Agora, vamos tirar o limite quando
tende a zero. Quando
vai para zero,
se aproxima de
. Assim, temos:
Isso porque todos os termos no denominador se tornam iguais a
, e temos três deles somados.
Resposta
Portanto, a derivada de
é: