(Cálculo da derivada pela definição - 3,0 pontos) Ache d yd x usando a definição de derivada.
y=raiz[3]x+2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada de y = raiz[3]x + 2 usando a definição de derivada. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo, especificamente sobre derivadas pela definição. Para isso, vamos usar a fórmula do limite que define a derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição de derivada. A derivada de y em relação a x , representada por dydx , é o limite quando h se aproxima de zero de:
f(x + h) - f(x)h
No nosso caso, f(x) = raiz[3]x + 2 . Então, vamos substituir na fórmula:
dydx = limh to 0 raiz[3](x + h) + 2 - raiz[3]x + 2h

Passo 3

Agora, para resolver esse limite, precisamos simplificar a expressão. Lidar com raízes cúbicas pode ser um pouco complicado, mas podemos usar uma técnica de racionalização para facilitar.
Sabemos que:
a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)
Vamos adaptar isso para o nosso caso. Vamos multiplicar numerador e denominador pela soma das raízes cúbicas elevadas ao quadrado e multiplicadas entre si:
raiz[3]x + h + 2 - raiz[3]x + 2h times raiz[3](x + h + 2)^2 + raiz[3](x + h + 2)(x + 2) + raiz[3](x + 2)^2raiz[3](x + h + 2)^2 + raiz[3](x + h + 2)(x + 2) + raiz[3](x + 2)^2

Passo 4

Ao multiplicar, o numerador fica:
(raiz[3]x + h + 2)^3 - (raiz[3]x + 2)^3 = (x + h + 2) - (x + 2) = h
Então a expressão fica:
hh ( raiz[3](x + h + 2)^2 + raiz[3](x + h + 2)(x + 2) + raiz[3](x + 2)^2 ) = 1raiz[3](x + h + 2)^2 + raiz[3](x + h + 2)(x + 2) + raiz[3](x + 2)^2

Passo 5

Agora, vamos tirar o limite quando h tende a zero. Quando h vai para zero, x + h + 2 se aproxima de x + 2 . Assim, temos:
1raiz[3](x + 2)^2 + raiz[3](x + 2)(x + 2) + raiz[3](x + 2)^2 = 13 raiz[3](x + 2)^2
Isso porque todos os termos no denominador se tornam iguais a raiz[3](x + 2)^2 , e temos três deles somados.

Resposta

Portanto, a derivada de y = raiz[3]x + 2 é:
dydx = 13 raiz[3](x + 2)^2

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