Calcule partial fpartial x e partial fpartial y para f(x, y)=x^2 y+x y^2.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular as derivadas parciais de f(x, y) = x^2 y + x y^2 em relação a x e y . O conteúdo que vamos usar aqui é o de derivadas parciais, que nos ajudam a entender como a função muda quando apenas uma das variáveis muda, mantendo a outra constante.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de f em relação a x , que é representada por partial fpartial x . Para isso, tratamos y como uma constante e diferenciamos f em relação a x .

Passo 3

A função é f(x, y) = x^2 y + x y^2 . Quando derivamos em relação a x :
  • A derivada de x^2 y em relação a x é 2x y , porque y é constante.
  • A derivada de x y^2 em relação a x é y^2 , já que y^2 é constante.

Passo 4

Então, somando as derivações:
partial fpartial x = 2x y + y^2

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada parcial de f em relação a y , representada por partial fpartial y . Aqui, tratamos x como uma constante e diferenciamos f em relação a y .

Passo 6

Derivando f(x, y) = x^2 y + x y^2 em relação a y :
  • A derivada de x^2 y em relação a y é x^2 , já que x^2 é constante.
  • A derivada de x y^2 em relação a y é 2x y .

Passo 7

Somando as derivações:
partial fpartial y = x^2 + 2x y

Resposta

As derivadas parciais de f(x, y) = x^2 y + x y^2 são:
partial fpartial x = 2x y + y^2
e
partial fpartial y = x^2 + 2x y

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