Determine o plano tangente à superfície z=x ln (y) no ponto (1, e, 1).

Passo 1

O enunciado nos dá a superfície z = x ln(y) e pede o plano tangente no ponto (1,e,1). O conteúdo que vamos usar é o de derivadas parciais e a fórmula do plano tangente a uma superfície z=f(x,y):
z - z0 = fx(x0,y0),(x-x0) + fy(x0,y0),(y-y0)

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f(x,y)=xln(y):
fx(x,y)=ln(y),
pois ln(y) é constante em relação a x, e
fy(x,y)=xcdot1y,
pois a derivada de ln(y) em relação a y é 1/y.

Passo 3

Avaliamos essas derivadas em (x0,y0)=(1,e). Como ln(e)=1, temos
fx(1,e)=1, fy(1,e)=1e

Passo 4

Usando a fórmula do plano tangente com z0=1, (x0,y0)=(1,e), fx(1,e)=1 e fy(1,e)=1/e, obtemos
z - 1 = 1cdot(x-1) + 1e,(y-e)
Rearranjando,
z = x + ye - 1

Resposta

z = x + ye - 1

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