Desenhe o mapa de contorno do gráfico de z=f(x, y) mostrando as linhas de contorno correspondentes aos valores de z dados:
f(x, y)=3 x+2 y-1
z=-1, z=0, z=1, z=2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa desenhar as linhas de contorno do gráfico de $ z = f(x, y) $ para os valores de $ z $ que são -1, 0, 1 e 2. Basicamente, as linhas de contorno mostram onde a função $ f(x, y) $ tem valores constantes. Para isso, vamos usar um pouco de álgebra para encontrar as equações dessas linhas.

Passo 2

Primeiro, vamos igualar a função $ f(x, y) $ a cada valor de $ z $ dado. A função é $ f(x, y) = 3x + 2y - 1 $. Então, para cada $ z $, temos:
f(x, y)

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação para $ y $ em função de $ x $. Vamos isolar o $ y $:
y
x
y
Isso nos dá a equação da reta para cada valor de $ z $.

Passo 4

Vamos fazer isso para cada valor de $ z $:
  1. Para $ z = -1 $:
    z
    z = -1
  2. Para $ z = 0 $:
    y = -32x + -1 + 12
    y = -32x
  3. Para $ z = 1 $:
    z = 0
    y = -32x + 0 + 12
  4. Para $ z = 2 $:
    y = -32x + 12
    z = 1

Passo 5

Agora que temos as equações das retas para cada $ z $, podemos desenhar o mapa de contorno. Cada reta representa uma linha onde a função $ f(x, y) $ tem um valor constante de $ z $.

Resposta

As linhas de contorno para $ z = -1, 0, 1, 2 $ são dadas pelas seguintes equações:
  1. $ y = -\frac{3}{2}x $ para $ z = -1 $
  2. $ y = -\frac{3}{2}x + \frac{1}{2} $ para $ z = 0 $
  3. $ y = -\frac{3}{2}x + 1 $ para $ z = 1 $
  4. $ y = -\frac{3}{2}x + \frac{3}{2} $ para $ z = 2 $
Essas retas podem ser desenhadas no gráfico $ xy $ para visualizar o mapa de contorno da função $ z = 3x + 2y - 1 $.

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