Desenhe o mapa de contorno do gráfico de
mostrando as linhas de contorno correspondentes aos valores de z dados:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa desenhar as linhas de contorno do gráfico de $ z = f(x, y) $ para os valores de $ z $ que são -1, 0, 1 e 2. Basicamente, as linhas de contorno mostram onde a função $ f(x, y) $ tem valores constantes. Para isso, vamos usar um pouco de álgebra para encontrar as equações dessas linhas.
Passo 2
Primeiro, vamos igualar a função $ f(x, y) $ a cada valor de $ z $ dado. A função é $ f(x, y) = 3x + 2y - 1 $. Então, para cada $ z $, temos:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação para $ y $ em função de $ x $. Vamos isolar o $ y $:
Isso nos dá a equação da reta para cada valor de $ z $.
Passo 4
Vamos fazer isso para cada valor de $ z $:
-
Para $ z = -1 $:
-
Para $ z = 0 $:
-
Para $ z = 1 $:
-
Para $ z = 2 $:
Passo 5
Agora que temos as equações das retas para cada $ z $, podemos desenhar o mapa de contorno. Cada reta representa uma linha onde a função $ f(x, y) $ tem um valor constante de $ z $.
Resposta
As linhas de contorno para $ z = -1, 0, 1, 2 $ são dadas pelas seguintes equações:
- $ y = -\frac{3}{2}x $ para $ z = -1 $
- $ y = -\frac{3}{2}x + \frac{1}{2} $ para $ z = 0 $
- $ y = -\frac{3}{2}x + 1 $ para $ z = 1 $
- $ y = -\frac{3}{2}x + \frac{3}{2} $ para $ z = 2 $
Essas retas podem ser desenhadas no gráfico $ xy $ para visualizar o mapa de contorno da função $ z = 3x + 2y - 1 $.