Determine o plano tangente à superfície z=e^x sin (y) no ponto (0, pi2, 1).

Passo 1

O enunciado pede o plano tangente à superfície
z = e^x sin(y)
no ponto l(0,tfracpi2,1r). O conteúdo é cálculo de derivadas parciais e aplicação da fórmula do plano tangente.

Passo 2

Vamos achar as derivadas parciais de f(x,y)=e^xsin(y). Mantendo uma variável constante, temos
fx(x,y) = partialpartial xl(e^xsin(y)r) = e^xsin(y),
fy(x,y) = partialpartial yl(e^xsin(y)r) = e^xcos(y)

Passo 3

Agora avaliamos essas derivadas no ponto l(0,tfracpi2r):
fxl(0,tfracpi2r) = e^0sin!l(tfracpi2r) = 1cdot1 = 1,
fyl(0,tfracpi2r) = e^0cos!l(tfracpi2r) = 1cdot0 = 0

Passo 4

A equação do plano tangente em (x0,y0,z0) é
z - z0 = fx(x0,y0),(x - x0) + fy(x0,y0),(y - y0)
Aqui x0=0, y0=tfracpi2, z0=1 e fx=1, fy=0. Logo,
z - 1 = 1,(x - 0) + 0,(y - tfracpi2) Longrightarrow z = 1 + x

Resposta

z = 1 + x

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