Sejam f e g funções com mesmo domínio. Verifique se as afirmações são verdadeiras (e prove) ou falsas (e dê um contra-exemplo).
Se f e g são ímpares, então f circ g é ímpar.

Passo 1

O enunciado quer saber se, dadas duas funções ímpares f e g com mesmo domínio D e tal que g(D)subseteq D (para que fcirc g faça sentido em D), a composição fcirc g é também uma função ímpar. Vamos usar a definição de função ímpar para provar ou refutar.

Passo 2

Recordando a definição, uma função h com domínio D é ímpar se, para todo xin D, vale
h(-x) = -,h(x)
Como f e g são ímpares, temos para todo xin D:
g(-x) = -,g(x), f(-y) = -,f(y) para todo (yin D)

Passo 3

Para mostrar que fcirc g é ímpar, basta verificar
(fcirc g)(-x) = fl(g(-x)r) = fl(-g(x)r) = -,fl(g(x)r) = -,(fcirc g)(x)
Aqui usamos primeiro a definição de composição, depois a imparidade de g em g(-x)=-g(x) e em seguida a imparidade de f em f(-g(x))=-f(g(x)).

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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