Calcule:
raiz[6]1

Passo 1

Beleza, vamos resolver a questão que pede para calcular a raiz sexta de 1, ou seja, raiz[6]1. Isso está relacionado ao conteúdo de raízes e potências, e para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar todas as soluções que, elevadas à sexta potência, resultam em 1.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma raiz sexta. Calcular raiz[6]1 quer dizer encontrar todos os números que, elevados à sexta potência, dão 1. Em outras palavras, queremos todos os z tais que z^6 = 1 .

Passo 3

Sabemos que números complexos podem ser representados na forma z = re^itheta , onde r é o módulo (ou tamanho) do número e theta é o argumento (ou ângulo). Como queremos que z^6 = 1 , vamos expressar 1 em forma polar.

Passo 4

O número 1 pode ser escrito como 1 = 1 cdot e^i0 , já que seu módulo é 1 e o ângulo é 0 radianos. Para encontrar z , aplicamos a fórmula das raízes n -ésimas:
zk = raiz[6]1 = e^i2pi k6, para k = 0, 1, 2, 3, 4, 5

Passo 5

Vamos calcular cada uma das seis raízes substituindo os valores de k :
  1. Para k = 0 :
z0 = e^i2pi cdot 06 = e^i0 = 1
  1. Para k = 1 :
z1 = e^i2pi cdot 16 = e^ipi3 = 12 + iraiz32
  1. Para k = 2 :
z2 = e^i2pi cdot 26 = e^i2pi3 = -12 + iraiz32
  1. Para k = 3 :
z3 = e^i2pi cdot 36 = e^ipi = -1
  1. Para k = 4 :
z4 = e^i2pi cdot 46 = e^i4pi3 = -12 - iraiz32
  1. Para k = 5 :
z5 = e^i2pi cdot 56 = e^i5pi3 = 12 - iraiz32

Resposta

As seis raízes sexta de 1 são:
1, 12 + iraiz32, -12 + iraiz32, -1, -12 - iraiz32, 12 - iraiz32

Exercícios relacionados