Calcule os limites
lim x 0 x^x^2-1x

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de limxto0^+x^x^2-1x. Este é um problema de limites envolvendo funções exponenciais e logaritmos naturais, e vamos precisar usar as propriedades de logaritmo e a expansão de e^u para u pequeno.

Passo 2

Para lidar com a potência, transformamos x^x^2 em exponencial usando a^b = e^bln a. Assim,
x^x^2 = e^x^2ln x

Passo 3

Note que, quando xto0^+, temos x^2ln x to0. Para uma quantidade u que tende a zero, valem a expansão
e^u = 1 + u + o(u)(uto0)

Passo 4

Logo, aplicando em u = x^2ln x,
x^x^2 = 1 + x^2ln x + ol(x^2ln xr)

Passo 5

Substituindo na expressão do limite,
x^x^2-1x = x^2ln x + o(x^2ln x)x = xln x + ol(xln xr)

Passo 6

Por fim, usamos o resultado clássico de que limxto0^+xln x = 0. Portanto,
limxto0^+x^x^2-1x = 0

Resposta

0

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