Mostre que
, sabendo que
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que a expressão
é igual a
. Para isso, vamos usar algumas identidades trigonométricas que já conhecemos:
Vamos precisar manipular a expressão complexa e aplicar essas identidades para chegar na igualdade que queremos mostrar.
Passo 2
Primeiro, a gente tem a expressão complexa
. Para simplificar isso, podemos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador, que é
. Isso ajuda a eliminar o número imaginário do denominador.
Então, multiplicando:
Passo 3
Vamos calcular o numerador e o denominador separadamente.
No numerador:
Expandindo:
Sabemos que
, então:
No denominador:
Calculando:
Passo 4
Agora, juntando o numerador e o denominador que calculamos:
Podemos separar essa fração em duas partes:
Passo 5
Agora, vamos lembrar das identidades trigonométricas que mencionamos no início:
Além disso, sabemos que
. Então, podemos reescrever os termos da nossa expressão usando essas identidades.
Primeiro, para a parte real:
E para a parte imaginária:
Resposta
Assim, mostramos que: