Mostre que 1+i tg theta1-i tg theta=cos (2 theta)+i sen(2 theta), sabendo que 2 sen theta cos theta=sen(2 theta) e cos ^2 theta-sen^2 theta= cos (2 theta).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que a expressão 1 + i tan theta1 - i tan theta é igual a cos(2theta) + i sin(2theta). Para isso, vamos usar algumas identidades trigonométricas que já conhecemos:
  • 2 sin theta cos theta = sin(2theta)
  • cos^2 theta - sin^2 theta = cos(2theta)
Vamos precisar manipular a expressão complexa e aplicar essas identidades para chegar na igualdade que queremos mostrar.

Passo 2

Primeiro, a gente tem a expressão complexa 1 + i tan theta1 - i tan theta. Para simplificar isso, podemos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador, que é 1 + i tan theta. Isso ajuda a eliminar o número imaginário do denominador.
Então, multiplicando:
1 + i tan theta1 - i tan theta times 1 + i tan theta1 + i tan theta = (1 + i tan theta)^2(1)^2 - (i tan theta)^2

Passo 3

Vamos calcular o numerador e o denominador separadamente.
No numerador: (1 + i tan theta)^2
Expandindo:
1^2 + 2 cdot 1 cdot i tan theta + (i tan theta)^2 = 1 + 2i tan theta + i^2 tan^2 theta
Sabemos que i^2 = -1, então:
1 + 2i tan theta - tan^2 theta
No denominador: 1 - (i tan theta)^2
Calculando:
1 - (i^2 tan^2 theta) = 1 - (-1 tan^2 theta) = 1 + tan^2 theta

Passo 4

Agora, juntando o numerador e o denominador que calculamos:
1 + 2i tan theta - tan^2 theta1 + tan^2 theta
Podemos separar essa fração em duas partes:
1 - tan^2 theta1 + tan^2 theta + i cdot 2 tan theta1 + tan^2 theta

Passo 5

Agora, vamos lembrar das identidades trigonométricas que mencionamos no início:
  • cos(2theta) = cos^2 theta - sin^2 theta
  • sin(2theta) = 2 sin theta cos theta
Além disso, sabemos que tan theta = sin thetacos theta. Então, podemos reescrever os termos da nossa expressão usando essas identidades.
Primeiro, para a parte real:
1 - tan^2 theta1 + tan^2 theta = cos(2theta)
E para a parte imaginária:
2 tan theta1 + tan^2 theta = sin(2theta)

Resposta

Assim, mostramos que:
1 + i tan theta1 - i tan theta = cos(2theta) + i sin(2theta)

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