Calcule:
dd x arctan (sen^2(x^2+1));

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=arctanl(sin^2(x^2+1)r).
Para isso vamos aplicar a regra da cadeia em três níveis: primeiro na função arctan, depois no quadrado de sin e por fim no polinômio x^2+1.

Passo 2

Seja
u(x)=sin^2(x^2+1)
A derivada de arctan(u) é dada por
ddxarctan(u(x)) =u'(x)1+u(x)^2 =u'(x)1+sin^4(x^2+1)

Passo 3

Para encontrar u'(x), note que
u(x)=l(sin(v)r)^2, v(x)=x^2+1
Aplicando a regra da cadeia em u=(sin v)^2, temos
u'(x)=2sin(v)cos(v),cdot v'(x)

Passo 4

Calculando v'(x):
v'(x)=ddx(x^2+1)=2x
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u'(x) =2sin(x^2+1)cos(x^2+1)cdot 2x =4x,sin(x^2+1)cos(x^2+1)

Passo 5

Substituindo u'(x) em f'(x), obtemos
f'(x) =4x,sin(x^2+1)cos(x^2+1)1+sin^4(x^2+1)
Usando ainda a identidade 2sin wcos w=sin(2w) com w=x^2+1, pode-se escrever
f'(x) =2x,sinl(2(x^2+1)r)1+sin^4(x^2+1)

Resposta

ddxarctanl(sin^2(x^2+1)r) =4x,sin(x^2+1)cos(x^2+1)1+sin^4(x^2+1)

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