Determine o limite:
lim x longrightarrow 4 2 x-4x^2-16.

Passo 1

O enunciado nos pede para determinar limxto42x-4x^2-16. O conteúdo envolve limites de funções racionais e análise de indeterminações do tipo “constante sobre zero”. Vamos usar fatoração, substituição direta e análise de sinais para investigar os limites unilaterais e o limite bilateral.

Passo 2

Primeiro, fatoramos numerador e denominador:
2x-4 = 2(x-2),
x^2-16 = (x-4)(x+4)
Ao substituir x=4 diretamente, o numerador vale
2cdot4 - 4 = 4,
enquanto o denominador vale
(4-4)(4+4) = 0
Portanto a forma é
40,
indicando divergência infinita. Para decidir se é +infty ou -infty, analisamos o sinal da fração perto de x=4.

Passo 3

Quando xto4^+, temos x-4>0 e x+4>0, logo o denominador (x-4)(x+4) é positivo e o numerador tende a 4>0. Assim
limxto4^+2x-4x^2-16 = +infty
Quando xto4^-, temos x-4<0 mas x+4>0, então o denominador é negativo e o numerador continua positivo, o que dá
limxto4^-2x-4x^2-16 = -infty

Passo 4

Como os limites laterais não coincidem (um é +infty e o outro é -infty), o limite bilateral não existe.

Resposta

O limite limxto42x-4x^2-16 não existe.

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