[1,5 pt] Calcule lim x 0 raizsen^2(x)+5-raiz5sen(x) sec (1 / x).

Passo 1

O enunciado pede o valor de
limxto0raizsen^2(x)+5-raiz5sen(x),secl(1/xr)
O conteúdo aqui é cálculo de limite do tipo 0/0. Vamos precisar usar a técnica de racionalização (multiplicar pelo conjugado) para simplificar a expressão e depois usar limites notáveis, sabendo que sen(x)to0 e sec(1/x)=1/cos(1/x) é limitada quando xto0.

Passo 2

Aplicamos racionalização ao numerador, multiplicando e dividindo por
raizsen^2(x)+5+raiz5
Temos
raizsen^2(x)+5-raiz5sen(x),sec(1/x) ;=; l(raizsen^2(x)+5-raiz5r),l(raizsen^2(x)+5+raiz5r) sen(x),sec(1/x),l(raizsen^2(x)+5+raiz5r)

Passo 3

No numerador aparece a diferença de quadrados:
l(raizsen^2(x)+5r)^2-l(raiz5r)^2 =sen^2(x)+5-5=sen^2(x)
Logo a expressão fica
sen^2(x) sen(x),sec(1/x),l(raizsen^2(x)+5+raiz5r) =sen(x) sec(1/x),l(raizsen^2(x)+5+raiz5r)

Passo 4

Reescrevendo sec(1/x)=1/cos(1/x), a fração é
sen(x),cosl(1/xr) ;/; l(raizsen^2(x)+5+raiz5r)
Quando xto0, temos sen(x)to0, cos(1/x) permanece limitada entre -1 e 1, e
raizsen^2(x)+5+raiz5;to;2raiz5neq0

Passo 5

Como o numerador tende a 0 (produto de sen(x)to0 por termo limitado) e o denominador a 2raiz5, concluímos que
limxto0raizsen^2(x)+5-raiz5sen(x),sec(1/x) =0

Resposta

0

Exercícios relacionados