1. [1,5 pt] Encontre constantes a e b tal que a função abaixo seja contínua:
lc |x^2-1|, & x<0 a x+b, & 0 <= x <= 1, raizx-1, & x>1

Passo 1

O enunciado dá a função
g(x)= lvert x^2-1rvert, & x<0, a,x+b, & 0<= x<=1, raizx-1, & x>1,
e pede a e b para que g seja contínua em toda reta. Os pontos críticos são x=0 e x=1, pois ali mudam as fórmulas. Para cada um, igualamos o limite lateral à definição em si.

Passo 2

Em x=0: o limite pela esquerda é dado pela continuidade de lvert x^2-1rvert, logo
limxto0^-g(x)=lvert0^2-1rvert=1
Pela definição do trecho do meio,
g(0)=acdot0+b=b
Para haver continuidade em 0 precisamos de
b=1

Passo 3

Em x=1: o limite pela direita usa a continuidade de raizx-1, então
limxto1^+g(x)=raiz1-1=0
Pela definição no intervalo [0,1] temos
g(1)=acdot1+b=a+b
Para continuidade em 1 impõe-se
a+b=0
Substituindo b=1 obtemos
a+1=0Longrightarrow a=-1

Resposta

a=-1 e b=1.

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