Calcule f(x) para x=2 e x=raiz112 em que
f(x)=integral1^x traiz8-4 t^2 d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a função f(x) para dois valores específicos de x . A função f(x) é definida por uma integral:
f(x) = integral1^x traiz8 - 4t^2 , dt
Para resolver isso, vamos usar o conceito de integração por substituição, que é uma técnica para simplificar integrais complicadas substituindo partes da integral por uma nova variável.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral para facilitar a substituição. Observe que no denominador temos raiz8 - 4t^2 . Podemos fatorar o 4 dentro da raiz:
raiz8 - 4t^2 = raiz4(2 - t^2) = 2raiz2 - t^2
Então, nossa integral fica:
f(x) = integral1^x t2raiz2 - t^2 , dt = 12 integral1^x traiz2 - t^2 , dt

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Vamos definir:
u = 2 - t^2
Então, derivando ambos os lados em relação a t :
dudt = -2t Rightarrow dt = du-2t
Agora, substituímos u e dt na integral:
12 integral traizu cdot du-2t = 12 cdot -12 integral 1raizu , du = -14 integral u^-1/2 , du

Passo 4

Integrando u^-1/2 :
-14 cdot ( 2u^1/2 ) + C = -12 raizu + C
Substituindo de volta u = 2 - t^2 :
-12 raiz2 - t^2 + C

Passo 5

Agora, aplicamos os limites de integração de 1 a x :
f(x) = [ -12 raiz2 - t^2 ]1^x = -12 raiz2 - x^2 + 12 raiz2 - 1^2
Simplificando:
f(x) = 12 ( raiz2 - 1 - raiz2 - x^2 ) = 12 ( 1 - raiz2 - x^2 )

Passo 6

Agora, substituímos os valores de x que queremos calcular.
Para x = 2 :
f(2) = 12 ( 1 - raiz2 - (2)^2 ) = 12 ( 1 - raiz2 - 4 ) = 12 ( 1 - raiz-2 )
Aqui, temos um número imaginário, o que indica que a função não está definida para x = 2 no conjunto dos números reais.
Para x = raiz112 :
f( raiz112 ) = 12 ( 1 - raiz2 - ( raiz112 )^2 ) = 12 ( 1 - raiz2 - 114 ) = 12 ( 1 - raiz84 - 114 ) = 12 ( 1 - raiz -34 )
Novamente, temos uma raiz quadrada de um número negativo, o que não está definido nos números reais.

Resposta

Para ambos os valores de x = 2 e x = raiz112 , a função f(x) não está definida no conjunto dos números reais devido à presença de uma raiz quadrada de número negativo.

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