Prove que
possui raiz no intervalo ( 1,2 ).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que a função
tem uma raiz no intervalo entre 1 e 2. Isso envolve o estudo de funções contínuas e o teorema do valor intermediário, que é uma ferramenta bem útil pra mostrar que uma função cruza o eixo x nesse intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ter uma raiz nesse intervalo. Ter uma raiz em (1,2) quer dizer que existe um número
entre 1 e 2 tal que
.
Passo 3
Agora, para usar o teorema do valor intermediário, precisamos que a função seja contínua no intervalo [1,2]. Nossa função
é um polinômio, e sabemos que polinômios são contínuos em todo o seu domínio. Então, estamos garantidos que
é contínua em [1,2].
Passo 4
Vamos calcular o valor de
nos extremos do intervalo:
Para
:
Para
:
Passo 5
Observamos que
e
. Isso significa que a função passa de um valor negativo para um valor positivo ao ir de 1 para 2.
Passo 6
De acordo com o teorema do valor intermediário, se uma função contínua assume valores de sinais opostos em dois pontos, então ela deve cruzar o eixo x em algum ponto entre esses dois pontos. Ou seja, há pelo menos um
em (1,2) tal que
.
Resposta
Portanto, a função
possui pelo menos uma raiz no intervalo (1,2).