Prove que s(x)=x^3+3 x^2-5 possui raiz no intervalo ( 1,2 ).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que a função s(x) = x^3 + 3x^2 - 5 tem uma raiz no intervalo entre 1 e 2. Isso envolve o estudo de funções contínuas e o teorema do valor intermediário, que é uma ferramenta bem útil pra mostrar que uma função cruza o eixo x nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ter uma raiz nesse intervalo. Ter uma raiz em (1,2) quer dizer que existe um número c entre 1 e 2 tal que s(c) = 0 .

Passo 3

Agora, para usar o teorema do valor intermediário, precisamos que a função seja contínua no intervalo [1,2]. Nossa função s(x) = x^3 + 3x^2 - 5 é um polinômio, e sabemos que polinômios são contínuos em todo o seu domínio. Então, estamos garantidos que s(x) é contínua em [1,2].

Passo 4

Vamos calcular o valor de s(x) nos extremos do intervalo:
Para x = 1 :
s(1) = (1)^3 + 3(1)^2 - 5 = 1 + 3 - 5 = -1
Para x = 2 :
s(2) = (2)^3 + 3(2)^2 - 5 = 8 + 12 - 5 = 15

Passo 5

Observamos que s(1) = -1 e s(2) = 15 . Isso significa que a função passa de um valor negativo para um valor positivo ao ir de 1 para 2.

Passo 6

De acordo com o teorema do valor intermediário, se uma função contínua assume valores de sinais opostos em dois pontos, então ela deve cruzar o eixo x em algum ponto entre esses dois pontos. Ou seja, há pelo menos um c em (1,2) tal que s(c) = 0 .

Resposta

Portanto, a função s(x) = x^3 + 3x^2 - 5 possui pelo menos uma raiz no intervalo (1,2).

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