Mostre que lim x 2 x^2-4x-2=4.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que limxto 2x^2-4x-2=4. O conteúdo aqui é cálculo de limite de uma expressão que apresenta forma indeterminada 0/0, e vamos precisar usar fatoração para simplificar.

Passo 2

Primeiro, se a gente tenta substituir x=2 diretamente, o numerador vira 2^2-4=0 e o denominador 2-2=0. Isso é uma forma indeterminada do tipo 0/0. Quando isso acontece, não dá pra concluir o valor do limite sem manipular a expressão.
A técnica que usamos é fatorar o numerador, que é uma diferença de quadrados. A regra da diferença de quadrados diz que
Block:
À parte disso, a expressão em bloco deve estar separada do texto. Abaixo está a fatoração.
Block:
Portanto, podemos reescrever a fração como
Block:
e aí simplificar o x-2 que aparece no numerador e no denominador, desde que xneq2.

Passo 3

Depois de simplificar, a função fica apenas x+2 quando xneq2. Agora o limite de x+2 quando x tende a 2 é fácil de calcular: basta substituir x=2 na expressão simplificada.
Como resultado,
Block:
e assim chegamos ao valor do limite.
Block:

Resposta

4

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