Mostre que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
. O conteúdo aqui é cálculo de limite de uma expressão que apresenta forma indeterminada
, e vamos precisar usar fatoração para simplificar.
Passo 2
Primeiro, se a gente tenta substituir
diretamente, o numerador vira
e o denominador
. Isso é uma forma indeterminada do tipo
. Quando isso acontece, não dá pra concluir o valor do limite sem manipular a expressão.
A técnica que usamos é fatorar o numerador, que é uma diferença de quadrados. A regra da diferença de quadrados diz que
Block:
À parte disso, a expressão em bloco deve estar separada do texto. Abaixo está a fatoração.
Block:
Portanto, podemos reescrever a fração como
Block:
e aí simplificar o que aparece no numerador e no denominador, desde que
.
A técnica que usamos é fatorar o numerador, que é uma diferença de quadrados. A regra da diferença de quadrados diz que
Block:
À parte disso, a expressão em bloco deve estar separada do texto. Abaixo está a fatoração.
Block:
Portanto, podemos reescrever a fração como
Block:
e aí simplificar o
Passo 3
Depois de simplificar, a função fica apenas
quando
. Agora o limite de
quando
tende a 2 é fácil de calcular: basta substituir
na expressão simplificada.
Como resultado,
Block:
e assim chegamos ao valor do limite.
Block:
Como resultado,
Block:
e assim chegamos ao valor do limite.
Block:
Resposta
4