Determine se a seguinte função é contínua.
f(x, y)=cc x y^4x^2+y^4 & (x, y) neq(0,0) 0 & (x, y)=(0,0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de continuidade de funções de duas variáveis. A gente precisa verificar se a função f(x, y) é contínua no ponto (0,0). Para isso, vamos usar conceitos de limites em cálculo multivariável e entender como a função se comporta quando (x, y) se aproxima de (0,0).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade em um ponto. Uma função é contínua em (a,b) se o limite dela quando (x,y) tende a (a,b) for igual ao valor da função nesse ponto. No nosso caso, queremos ver se:
lim(x, y) to (0,0) f(x, y) = f(0,0) = 0
Então, precisamos calcular esse limite.

Passo 3

Vamos olhar para a definição da função:
f(x, y)=cc x y^4x^2+y^4 & se (x, y) neq(0,0) 0 & se (x, y)=(0,0)
Queremos o limite quando (x,y) se aproxima de (0,0). Para simplificar, vamos usar coordenadas polares, onde x = r cos theta e y = r sin theta. Assim, r representa a distância até a origem.

Passo 4

Substituindo na função:
f(r cos theta, r sin theta) = (r cos theta) (r sin theta)^4(r cos theta)^2 + (r sin theta)^4
Vamos simplificar isso:
= r cos theta cdot r^4 sin^4 thetar^2 cos^2 theta + r^4 sin^4 theta = r^5 cos theta sin^4 thetar^2 cos^2 theta + r^4 sin^4 theta

Passo 5

Agora, vamos fatorar r^2 no denominador:
= r^5 cos theta sin^4 thetar^2 (cos^2 theta + r^2 sin^4 theta) = r^3 cos theta sin^4 thetacos^2 theta + r^2 sin^4 theta
Quando r to 0, o termo r^2 sin^4 theta no denominador fica muito pequeno, então podemos aproximar:
approx r^3 cos theta sin^4 thetacos^2 theta

Passo 6

Simplificando ainda mais:
= r^3 cos theta sin^4 thetacos^2 theta = r^3 sin^4 thetacos theta
Agora, vamos analisar o comportamento quando r to 0. O numerador tem r^3, que tende a 0 mais rápido que o denominador, já que cos theta é limitada e diferente de zero (exceto em theta = pi/2 + kpi, mas esses são casos de caminhos específicos).

Passo 7

Portanto, o limite geral quando (x,y) to (0,0) é 0:
lim(x, y) to (0,0) f(x, y) = 0 = f(0,0)
Isso mostra que a função é contínua no ponto (0,0).

Resposta

A função f(x, y) é contínua no ponto (0,0).

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