Se F(x, y)=(2 x+y^3) imath+(3 x y^2+4) j.
Calcule integral(0,1)^(2,3) F cdot d r.

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
F(x,y) = l(2x + y^3r),vecimath + l(3xy^2 + 4r),vecjmath
e pede o valor da integral de linha
integral(0,1)^(2,3) Fcdot dvec r.
Isso é uma aplicação de campos conservativos e do Teorema Fundamental das Integrais de Linha.

Passo 2

Verificamos se F é conservativo, isto é, se existe potencial varphi tal que
partial varphipartial x = 2x + y^3 e partial varphipartial y = 3xy^2 + 4
Calculamos
partialpartial y(2x + y^3) = 3y^2
e
partialpartial x(3xy^2 + 4) = 3y^2.
Como são iguais e o domínio é R^2 (simplesmente conexo), F é conservativo.

Passo 3

Para achar o potencial varphi(x,y), integramos
partial varphipartial x = 2x + y^3
em relação a x:
varphi(x,y) = integral (2x + y^3),dx = x^2 + x,y^3 + g(y),
onde g(y) é uma função a determinar.

Passo 4

Diferenciamos varphi em relação a y e igualamos a 3xy^2+4:
partial varphipartial y = 3x,y^2 + g'(y) stackrel!= 3x,y^2 + 4 ;Longrightarrow; g'(y)=4 ;Longrightarrow; g(y)=4y + C
Podemos tomar C=0 sem perda de generalidade, ficando
varphi(x,y) = x^2 + x,y^3 + 4y

Passo 5

Pelo Teorema Fundamental das Integrais de Linha,
integral(0,1)^(2,3) Fcdot dvec r = varphi(2,3) - varphi(0,1)
Calculamos
varphi(2,3) = 2^2 + 2cdot3^3 + 4cdot3 = 4 + 54 + 12 = 70,
varphi(0,1) = 0^2 + 0cdot1^3 + 4cdot1 = 4
Logo a integral vale 70 - 4 = 66.

Resposta

66

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