Use coordenadas esféricas para encontrar o volume do sólido.
V=integral0^2 pi integral0^pi / 4 integral1^2 rho^2 sen phi d rho d phi d theta

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido usando coordenadas esféricas. Para isso, vamos trabalhar com integrais triplas. Vou te mostrar passo a passo como fazer isso, explicando cada parte para que fique bem claro.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são coordenadas esféricas. Nesse sistema, qualquer ponto no espaço é determinado por três valores: rho (a distância do ponto à origem), phi (o ângulo com o eixo z) e theta (o ângulo no plano xy). A fórmula do volume em coordenadas esféricas é dada por:
V = integral integral integral rho^2 sin phi drho dphi dtheta

Passo 3

Vamos olhar para os limites de integração do problema:
  • rho varia de 1 a 2. Isso significa que estamos considerando uma região entre duas esferas concêntricas, uma de raio 1 e outra de raio 2.
  • phi varia de 0 a pi/4. Esse é o ângulo com o eixo z, indicando que estamos restringindo a região a um cone com esse ângulo.
  • theta varia de 0 a 2pi. Isso cobre toda a volta em torno do eixo z, ou seja, estamos considerando a rotação completa.

Passo 4

Vamos resolver a integral começando pela integração em rho:
integral1^2 rho^2 drho
Integrando, temos:
[ rho^33 ]1^2 = 2^33 - 1^33 = 83 - 13 = 73

Passo 5

Agora, substituímos o resultado da primeira integração na integral dupla que resta:
V = integral0^2pi integral0^pi/4 73 sin phi dphi dtheta
Vamos integrar em phi:
integral0^pi/4 sin phi dphi = [ -cos phi ]0^pi/4 = -cos(pi4) + cos(0) = -raiz22 + 1 = 1 - raiz22

Passo 6

Substituindo esse resultado na integral restante:
V = integral0^2pi 73 (1 - raiz22) dtheta
Agora, integramos em theta:
integral0^2pi dtheta = 2pi

Passo 7

Multiplicando tudo, temos:
V = 73 (1 - raiz22) times 2pi = 14pi3 (1 - raiz22)
Podemos simplificar um pouco mais:
V = 14pi3 - 7piraiz23

Resposta

O volume do sólido é V = 14pi3 - 7piraiz23 unidades cúbicas.

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