Use coordenadas esféricas para encontrar o volume do sólido.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido usando coordenadas esféricas. Para isso, vamos trabalhar com integrais triplas. Vou te mostrar passo a passo como fazer isso, explicando cada parte para que fique bem claro.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são coordenadas esféricas. Nesse sistema, qualquer ponto no espaço é determinado por três valores:
(a distância do ponto à origem),
(o ângulo com o eixo
) e
(o ângulo no plano
). A fórmula do volume em coordenadas esféricas é dada por:
Passo 3
Vamos olhar para os limites de integração do problema:
-
varia de 1 a 2. Isso significa que estamos considerando uma região entre duas esferas concêntricas, uma de raio 1 e outra de raio 2. -
varia de 0 a . Esse é o ângulo com o eixo , indicando que estamos restringindo a região a um cone com esse ângulo. -
varia de 0 a . Isso cobre toda a volta em torno do eixo , ou seja, estamos considerando a rotação completa.
Passo 4
Vamos resolver a integral começando pela integração em
:
Integrando, temos:
Passo 5
Agora, substituímos o resultado da primeira integração na integral dupla que resta:
Vamos integrar em
:
Passo 6
Substituindo esse resultado na integral restante:
Agora, integramos em
:
Passo 7
Multiplicando tudo, temos:
Podemos simplificar um pouco mais:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.