Calcule
, com
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
Aqui estamos lidando com limites de funções de duas variáveis, especificamente envolvendo potências naturais de
e
. Para resolver, vamos precisar usar propriedades de álgebra sobre potências e entender como simplificar a expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o numerador
. Existe uma identidade algébrica que nos ajuda a fatorar essa diferença de potências:
Essa fatoração é muito útil porque conseguimos cancelar o
que está no denominador.
Passo 3
Agora, substituímos a expressão fatorada no limite:
O
cancela, ficando:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite dessa soma quando
. Cada termo da soma tem pelo menos uma variável elevada a uma potência positiva. Por exemplo,
,
, etc. Quando
e
se aproximam de 0, cada um desses termos também se aproxima de 0.
Passo 5
A única exceção é quando
. Se
, a expressão original fica:
Portanto, nesse caso, o limite é 1.
Resposta
Portanto, o limite vale: