Calcule
lim (x, y) (0,0) x^m-y^mx-y, com m in N

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite:
lim (x, y) (0,0) x^m-y^mx-y
Aqui estamos lidando com limites de funções de duas variáveis, especificamente envolvendo potências naturais de x e y. Para resolver, vamos precisar usar propriedades de álgebra sobre potências e entender como simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o numerador x^m - y^m. Existe uma identidade algébrica que nos ajuda a fatorar essa diferença de potências:
x^m - y^m = (x - y)(x^m-1 + x^m-2y + dots + y^m-1)
Essa fatoração é muito útil porque conseguimos cancelar o (x - y) que está no denominador.

Passo 3

Agora, substituímos a expressão fatorada no limite:
x^m-y^mx-y = (x - y)(x^m-1 + x^m-2y + dots + y^m-1)x - y
O (x - y) cancela, ficando:
x^m-1 + x^m-2y + dots + y^m-1

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite dessa soma quando (x, y) (0,0). Cada termo da soma tem pelo menos uma variável elevada a uma potência positiva. Por exemplo, x^m-1, x^m-2y, etc. Quando x e y se aproximam de 0, cada um desses termos também se aproxima de 0.

Passo 5

A única exceção é quando m = 1. Se m = 1, a expressão original fica:
x - yx - y = 1
Portanto, nesse caso, o limite é 1.

Resposta

Portanto, o limite vale:
lim (x, y) (0,0) x^m-y^mx-y = 1 & se m = 1, 0 & se m > 1

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