Calcule
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o limite de $ (x^{2} + y^{2}) \cdot \sin\left(\frac{1}{x y}\right) $ quando $ (x, y) $ se aproxima de $ (0,0) $. Isso faz parte do conteúdo de cálculo de limites em funções de várias variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como funções trigonométricas se comportam e usar algumas propriedades de limites.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na parte $ \sin\left(\frac{1}{x y}\right) $. Sabemos que a função seno sempre está limitada entre -1 e 1, ou seja:
Isso é super importante porque nos ajuda a controlar essa parte da expressão.
Passo 3
Agora, vamos multiplicar toda a desigualdade por $ (x^{2} + y^{2}) $. Como $ (x^{2} + y^{2}) $ é sempre positivo (soma de quadrados), a desigualdade se mantém:
Isso significa que nossa expressão está “presas” entre $ -(x^{2} + y^{2}) $ e $ (x^{2} + y^{2}) $.
Passo 4
Agora, vamos analisar o que acontece com $ (x^{2} + y^{2}) $ quando $ (x, y) $ se aproxima de $ (0,0) $. Claramente, $ x^{2} + y^{2} $ tende a 0, porque tanto $ x $ quanto $ y $ estão indo para zero.
Passo 5
Usando o teorema do aperto (ou teorema do sanduíche), que diz que se uma função está entre duas outras funções que têm o mesmo limite, então a função também tem esse limite. Como vimos que:
E sabemos que ambos $ -(x^{2} + y^{2}) $ e $ (x^{2} + y^{2}) $ tendem a 0 quando $ (x, y) $ se aproxima de $ (0,0) $, então nossa expressão também tende a 0.
Resposta
O limite é 0.