Calcule, se existir, a área das regiões abaixo, limitas pelas curvas y, e pelos intervalos indicados:
y=sec ^2 x, de 0 <= x<pi2

Passo 1

O enunciado pede a área da região sob a curva y=sec^2 x para 0<= x<pi2. Isso significa calcular a integral imprópria
integral0^pi2sec^2 x,dx
O conteúdo aqui é integral de função trigonométrica e tratamento de integral imprópria.

Passo 2

Verificamos que a integral é imprópria porque sec^2 x tende a +infty quando xtopi2^-. Logo, definimos
integral0^pi2sec^2 x,dx = limbtopi2^-integral0^bsec^2 x,dx

Passo 3

Sabemos que a primitiva de sec^2 x é tan x. Assim,
integral0^bsec^2 x,dx =l[tan xr]0^b =tan b-tan0 =tan b

Passo 4

Agora tomamos o limite quando btopi2^-:
limbtopi2^-tan b=+infty
Isso mostra que a área sob a curva diverge.

Resposta

A integral diverge, logo a área não existe (é infinita).

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