Determine o intervalo de convergência da série de potências F(x)=sumn=1^infty(n!)^14 x^n

Passo 1

O enunciado pede para achar o intervalo de convergência da série de potências F(x)=sumn=1^infty(n!)^1/4,x^n. O conteúdo aqui é séries de potências e vamos usar o teste da razão para determinar onde ela converge.

Passo 2

Definimos o termo geral an=(n!)^1/4x^n. Pelo teste da razão, calculamos L=limntoinfty|an+1an|.
Vamos ao cálculo da razão:
|an+1an| = ((n+1)!)^1/4,|x|^,n+1(n!)^1/4,|x|^n = (n+1)^1/4,|x|
Agora analisamos o limite quando ntoinfty:
$$\lim_{n\to\infty}(n+1)^{1/4},|x| = \begin{cases}
0,&se|x|=0,\
\infty,&se|x|>0.
\end{cases}$$
O teste da razão diz que a série converge se limntoinfty(n+1)^1/4,|x| = 0,&se |x|=0, infty,&se |x|>0 . Aqui, para qualquer L<1, temos xneq0, ou seja, diverge. Só em L=infty>1 vale x=0, garantindo convergência.

Passo 3

Portanto o raio de convergência é R=0 e a série converge apenas no ponto x=0.

Resposta

O intervalo de convergência é 0.

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