Determine o intervalo de convergência da série de potências
Passo 1
O enunciado pede para achar o intervalo de convergência da série de potências . O conteúdo aqui é séries de potências e vamos usar o teste da razão para determinar onde ela converge.
Passo 2
Definimos o termo geral . Pelo teste da razão, calculamos .
Vamos ao cálculo da razão:
|an+1an| = ((n+1)!)^1/4,|x|^,n+1(n!)^1/4,|x|^n = (n+1)^1/4,|x|
Agora analisamos o limite quando ntoinfty:
$$\lim_{n\to\infty}(n+1)^{1/4},|x| = \begin{cases}
0,&se|x|=0,\
\infty,&se|x|>0.
\end{cases}$$
O teste da razão diz que a série converge se limntoinfty(n+1)^1/4,|x| = 0,&se |x|=0, infty,&se |x|>0 . Aqui, para qualquer L<1, temos xneq0, ou seja, diverge. Só em L=infty>1 vale x=0, garantindo convergência.
Passo 3
Portanto o raio de convergência é R=0 e a série converge apenas no ponto x=0.