Determine o intervalo de convergência da série de potências F(x)=sumn=1^infty (-3)^n2^n(x+23)^n

Passo 1

O enunciado dá a série de potências de centro c = -tfrac23.
F(x) = sumn=1^infty (-3)^n2^n l(x + tfrac23r)^n
Queremos achar o intervalo de convergência. Para séries de potências com termos an (x-c)^n, o teste da raiz diz que a série converge se
limsupntoinfty raiz[n]l|an (x-c)^nr| < 1

Passo 2

Aqui an = tfrac(-3)^n2^n e c=-tfrac23. Aplicando o teste da raiz:
raiz[n]|(-3)^n2^n l(x + tfrac23r)^n| = |-32,(x + tfrac23)| = 32,l|x + tfrac23r|
Para convergir, precisa-se de
32,l|x + tfrac23r| < 1 Longrightarrow l|x + tfrac23r| < 23

Passo 3

Isso mostra que o raio de convergência é R=tfrac23 e, portanto, a série converge para
-tfrac23-tfrac23 < x < -tfrac23+tfrac23 Longrightarrow -tfrac43 < x < 0

Passo 4

Em x=0 temos x+tfrac23=tfrac23 e o termo geral vira
(-3)^n2^nl(tfrac23r)^n =l(-tfrac32cdottfrac23r)^n =(-1)^n,
cuja série sum(-1)^n não converge (os termos não tendem a zero). Logo x=0 é excluído.

Passo 5

Em x=-tfrac43 temos x+tfrac23=-tfrac23 e o termo geral é
(-3)^n2^nl(-tfrac23r)^n =l(-tfrac32cdot -tfrac23r)^n =1^n =1,
e a série sum1 também diverge. Portanto x=-tfrac43 sai do intervalo.

Resposta

l(-tfrac43,0r)

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