Calcule
lim (x, y) (0,0) cos ((x^2+y^2) sen(1 / x y))

Passo 1

Beleza, temos que calcular o limite de cos((x^2 + y^2) cdot sin(1xy)) quando (x, y) se aproxima de (0, 0). Isso está na área de cálculo multivariável, especificamente lidando com limites que envolvem funções trigonométricas e variáveis que tendem a zero. Para resolver isso, vamos precisar entender como cada parte da função se comporta à medida que x e y se aproximam de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece dentro do cosseno: (x^2 + y^2) cdot sin(1xy). Sabemos que x^2 + y^2 tende a zero quando (x, y) se aproxima de (0, 0), porque tanto x^2 quanto y^2 vão para zero.
Agora, vamos olhar para sin(1xy). À medida que x e y se aproximam de zero, o produto xy também tende a zero, então 1xy tende a infinito. A função seno, sin(z), oscila entre -1 e 1 para qualquer valor de z, mesmo quando z vai para infinito. Ou seja, sin(1xy) vai continuar oscilando entre -1 e 1 sem um limite específico.
Agora, multiplicamos (x^2 + y^2) que está indo para zero por sin(1xy) que está oscilando entre -1 e 1. O que acontece aqui é que, apesar de sin(1xy) estar oscilando, ele está sendo multiplicado por x^2 + y^2, que está indo para zero. Então, o produto (x^2 + y^2) cdot sin(1xy) também vai para zero, porque um número que tende a zero multiplicado por um número limitado (entre -1 e 1) tende a zero.

Passo 3

Agora que sabemos que (x^2 + y^2) cdot sin(1xy) tende a zero, vamos olhar para o cosseno dessa expressão: cos( (x^2 + y^2) cdot sin(1xy) ).
Sabemos que cos(0) = 1 e que a função cosseno é contínua. Portanto, se o que está dentro do cosseno está se aproximando de zero, então o cosseno dessa expressão está se aproximando de cos(0) = 1.

Resposta

Portanto, o limite é igual a 1.

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