Calcule
Passo 1
Beleza, temos que calcular o limite de
quando
se aproxima de
. Isso está na área de cálculo multivariável, especificamente lidando com limites que envolvem funções trigonométricas e variáveis que tendem a zero. Para resolver isso, vamos precisar entender como cada parte da função se comporta à medida que
e
se aproximam de zero.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece dentro do cosseno:
. Sabemos que
tende a zero quando
se aproxima de
, porque tanto
quanto
vão para zero.
Agora, vamos olhar para
. À medida que
e
se aproximam de zero, o produto
também tende a zero, então
tende a infinito. A função seno,
, oscila entre -1 e 1 para qualquer valor de
, mesmo quando
vai para infinito. Ou seja,
vai continuar oscilando entre -1 e 1 sem um limite específico.
Agora, multiplicamos
que está indo para zero por
que está oscilando entre -1 e 1. O que acontece aqui é que, apesar de
estar oscilando, ele está sendo multiplicado por
, que está indo para zero. Então, o produto
também vai para zero, porque um número que tende a zero multiplicado por um número limitado (entre -1 e 1) tende a zero.
Passo 3
Agora que sabemos que
tende a zero, vamos olhar para o cosseno dessa expressão:
.
Sabemos que
e que a função cosseno é contínua. Portanto, se o que está dentro do cosseno está se aproximando de zero, então o cosseno dessa expressão está se aproximando de
.
Resposta
Portanto, o limite é igual a
.