Determine o intervalo de convergência da série de potências F(x)=sumn=1^infty x^n(n!)^18

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências
F(x)=sumn=1^inftyx^n(n!)^18
O conteúdo aqui é séries de potências e vamos usar o teste da razão para determinar o raio de convergência.

Passo 2

No teste da razão, definimos
an=1(n!)^18
e examinamos o limite
L=limntoinfty|an+1,x^,n+1an,x^,n|
Se L<1, a série converge; se L>1, diverge; se L=1, o teste é inconclusivo.

Passo 3

Calculamos a razão:
|an+1,x^,n+1an,x^,n| =l|xr|;(n!)^18l((n+1)!r)^18 =l|xr|;1(n+1)^18

Passo 4

Tomando o limite quando ntoinfty,
L=limntoinftyl|xr|(n+1)^18=0
para todo xinR, pois o denominador cresce sem limite.

Passo 5

Como L=0<1 para qualquer valor de x, o raio de convergência da série é R=infty. Logo a série converge para todos os x reais.

Resposta

(-infty,infty)

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