Determine o intervalo de convergência da série de potências
Passo 1
O enunciado dá a série de potências
e pede o intervalo de convergência. Vamos usar o teste da razão para séries de potências e depois testar os extremos.
Passo 2
Aplicando o teste da razão, consideramos o termo genérico
e calculamos
A série converge se
L<1 , ou seja
Passo 3
Concluímos que o raio de convergência é
R=3 . Agora testamos os pontos extremos
x=3 e
x=-3 .
Passo 4
Em
x=3 , a série fica
que é a série alternada harmônica e converge (condicionalmente) pelo teste de Leibniz.
Passo 5
Em
x=-3 , temos
(-3)^2n=3^2n , então a série também se reduz a
e converge pelas mesmas razões.
Resposta
O intervalo de convergência é
[-3,3] .