Determine o intervalo de convergência da série de potências F(x)=sumn=1^infty (-1)^n-1n 9^n x^2 n

Passo 1

O enunciado dá a série de potências
F(x)=sumn=1^infty(-1)^n-1n,9^nx^2n
e pede o intervalo de convergência. Vamos usar o teste da razão para séries de potências e depois testar os extremos.

Passo 2

Aplicando o teste da razão, consideramos o termo genérico
an(x)=(-1)^n-1n,9^nx^2n
e calculamos
L=limntoinfty|an+1(x)an(x)| =limntoinfty|(-1)^n(n+1)9^n+1x^2(n+1)(-1)^n-1n,9^nx^2n| =limntoinftynn+1cdotx^29 =x^29
A série converge se L<1, ou seja
x^29<1Longrightarrow|x|<3

Passo 3

Concluímos que o raio de convergência é R=3. Agora testamos os pontos extremos x=3 e x=-3.

Passo 4

Em x=3, a série fica
sumn=1^infty(-1)^n-1n,9^n,(3)^2n =sumn=1^infty(-1)^n-1n,,
que é a série alternada harmônica e converge (condicionalmente) pelo teste de Leibniz.

Passo 5

Em x=-3, temos (-3)^2n=3^2n, então a série também se reduz a
sumn=1^infty(-1)^n-1n
e converge pelas mesmas razões.

Resposta

O intervalo de convergência é [-3,3].

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