Calcule
lim (x, y) (2,1)[x^4-y^4x^2+y^2]^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite de [x^4 - y^4x^2 + y^2]^2 quando (x, y) se aproxima de (2, 1). Isso envolve limites de funções de duas variáveis, então vamos precisar entender como simplificar expressões com duas variáveis e aplicar propriedades de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do limite: x^4 - y^4x^2 + y^2. Perceba que x^4 - y^4 é uma diferença de potências, que pode ser fatorada usando a identidade a^4 - b^4 = (a^2 + b^2)(a^2 - b^2). Então,
x^4 - y^4 = (x^2 + y^2)(x^2 - y^2)

Passo 3

Substituindo essa fatoração na expressão original, temos:
x^4 - y^4x^2 + y^2 = (x^2 + y^2)(x^2 - y^2)x^2 + y^2 = x^2 - y^2
Aqui, podemos cancelar o termo x^2 + y^2 no numerador e denominador, simplificando a expressão para x^2 - y^2.

Passo 4

Agora, nossa expressão de limite ficou mais simples:
[x^4 - y^4x^2 + y^2]^2 = (x^2 - y^2)^2
Então, precisamos calcular o limite de (x^2 - y^2)^2 quando (x, y) se aproxima de (2, 1).

Passo 5

Para calcular esse limite, substituímos diretamente os valores de x e y na expressão simplificada:
(2^2 - 1^2)^2 = (4 - 1)^2 = 3^2 = 9

Resposta

O limite é igual a 9.

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