Calcule, se existir, a área das regiões abaixo, limitas pelas curvas y, e pelos intervalos indicados:
y=1(x+1)^2 / 3, de -2 <= x <= 7

Passo 1

O enunciado pede calcular a área da região sob a curva
y = 1(x+1)^2/3
para -2 <= x <= 7. Como em x=-1 a função diverge, trata-se de uma integral imprópria; vamos verificar convergência e calcular o valor da área.

Passo 2

Analisamos a descontinuidade em x=-1. Próximo a esse ponto,
ysim |x+1|^-2/3,
e como o expoente 2/3<1, a integral ao redor de x=-1 converge. Dividimos o intervalo em duas partes: [-2,-1) e (-1,7].

Passo 3

Encontramos a primitiva de f(x)=(x+1)^-2/3. Fazendo u=x+1 obtemos
integral (x+1)^-2/3,dx = integral u^-2/3,du = 3,u^1/3 + C
Logo, uma primitiva é
F(x) = 3,(x+1)^1/3

Passo 4

Calculamos cada integral imprópria:
Para -2 até -1:
integral-2^-1(x+1)^-2/3,dx = limtto -1^-l[F(t)-F(-2)r] = limtto -1^-l(3(t+1)^1/3-3(-1)^1/3r) = 0-(-3)=3
Para -1 até 7:
integral-1^7(x+1)^-2/3,dx = limsto -1^+l[F(7)-F(s)r] = 3,(8)^1/3-0 =3cdot2 =6

Passo 5

Somando as duas partes, a área total é
3 + 6 = 9

Resposta

A área existe e vale 9.

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