Calcule integral0^1 integral0^2 integral0^3(x^2+y^2+z^2) d z d y d x

Passo 1

O enunciado pede calcular
integral0^1!integral0^2!integral0^3(x^2+y^2+z^2),dz,dy,dx
O conteúdo envolvido é a aplicação do Teorema de Fubini para integrais múltiplas num domínio retangular, permitindo separar a integração em etapas em z, depois y e finalmente x.

Passo 2

Integramos primeiro em z:
integral0^3(x^2+y^2+z^2),dz
separa em duas partes:
(x^2+y^2)integral0^3dz + integral0^3z^2,dz.
Calculando cada uma:
(x^2+y^2)cdot3 + [z^33]0^3 =3(x^2+y^2) + 273 =3(x^2+y^2) + 9
Logo, após integrar em z, o integrando vira 3x^2+3y^2+9.

Passo 3

Agora integramos em y:
integral0^2(3x^2+3y^2+9),dy =3x^2integral0^2dy + 3integral0^2y^2,dy + 9integral0^2dy
Cada termo dá
3x^2cdot2 + 3cdot2^33 + 9cdot2 =6x^2 + 8 + 18 =6x^2 + 26

Passo 4

Por fim, integramos em x:
integral0^1(6x^2+26),dx =6integral0^1x^2,dx + 26integral0^1dx =6cdot13 + 26cdot1 =2 + 26 =28

Resposta

28

Exercícios relacionados