Determine a equação do plano que passa pelos pontos (2,-1,2), (6,1,4) e (-1,-2,-3).

Passo 1

Vamos encontrar a equação do plano que passa por P1=(2,-1,2), P2=(6,1,4) e P3=(-1,-2,-3).
O conteúdo aqui é geometria no espaço: para achar a equação geral de um plano precisamos de um vetor normal a ele, que obtemos com o produto vetorial de dois vetores diretores do plano.

Passo 2

Escolhemos como vetores diretores
vec v = P2 - P1 e vec w = P3 - P1.
Calculando coordenada a coordenada:
vec v = (6-2,;1-(-1),;4-2) = (4,2,2),
vec w = (-1-2,;-2-(-1),;-3-2) = (-3,-1,-5)

Passo 3

O vetor normal vec n ao plano é dado por
vec n = vec v times vec w
Fazendo o determinante:
vec n = i & j & k 4 & 2 & 2 -3 & -1 & -5 = l(2cdot(-5)-2cdot(-1),;-l(4cdot(-5)-2cdot(-3)r),;4cdot(-1)-2cdot(-3)r) =(-8,;14,;2)
Podemos dividir tudo por 2 para simplificar e obter
vec n =(-4,7,1). Multiplicando por -1 dá o equivalente vec n=(4,-7,-1).

Passo 4

A equação geral do plano usando vec n=(4,-7,-1) e o ponto P1=(2,-1,2) é
4,(x-2);-;7,(y+1);-;(z-2);=;0
Expandindo e reunindo termos:
4x-8;-7y-7;-z+2 = 0 Longrightarrow 4x -7y -z -13 = 0

Resposta

A equação buscada é
4x - 7y - z - 13 = 0

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