Calcule as seguintes integrais
integral 2 x^2-1x^3-x d x;

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral 2 x^2-1x^3-x d x. Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com frações racionais. Para resolver isso, vamos precisar decompor a fração em partes mais simples usando frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^3 - x. Podemos tirar um x em evidência:
x^3 - x = x(x^2 - 1) = x(x - 1)(x + 1)

Passo 3

Agora, queremos escrever a fração 2x^2 - 1x(x - 1)(x + 1) como uma soma de frações parciais. Assumimos que ela pode ser representada assim:
2x^2 - 1x(x - 1)(x + 1) = Ax + Bx - 1 + Cx + 1

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação por x(x - 1)(x + 1) para eliminar os denominadores:
2x^2 - 1 = A(x - 1)(x + 1) + Bx(x + 1) + Cx(x - 1)

Passo 5

Agora, expandimos e simplificamos os termos do lado direito:
2x^2 - 1 = A(x^2 - 1) + Bx^2 + Bx + Cx^2 - Cx
2x^2 - 1 = (A + B + C)x^2 + (B - C)x - A

Passo 6

Igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
A + B + C = 2 B - C = 0 - A = -1

Passo 7

Resolvendo o sistema de equações:
  • Da terceira equação: A = 1
  • Da segunda equação: B = C
  • Substituindo A na primeira equação: 1 + B + B = 2 Rightarrow 2B = 1 Rightarrow B = 12 e C = 12

Passo 8

Agora, substituímos os valores encontrados de A, B e C na decomposição das frações parciais:
2x^2 - 1x(x - 1)(x + 1) = 1x + 1/2x - 1 + 1/2x + 1

Passo 9

Agora, integramos cada termo separadamente:
integral 1x dx + 12 integral 1x - 1 dx + 12 integral 1x + 1 dx

Passo 10

As integrais resultam em logaritmos:
ln|x| + 12 ln|x - 1| + 12 ln|x + 1| + C

Resposta

A integral é igual a ln|x| + 12 ln|x - 1| + 12 ln|x + 1| + C, onde C é a constante de integração.

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