Calcule as seguintes integrais
integral 1+raizx^2+1(x^2+1)^3 / 2 d x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de
integral 1 + raizx^2+1(x^2+1)^3 / 2 , dx
Isso envolve conceitos de cálculo integral, especificamente de integrais que utilizam substituição e manipulação algébrica. Vamos precisar entender como simplificar a expressão e escolher uma boa substituição para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a integral. Vamos escrever o numerador de uma forma que facilite a divisão pelo denominador:
1 + raizx^2+1(x^2+1)^3 / 2 = 1(x^2+1)^3/2 + raizx^2+1(x^2+1)^3/2
Simplificando cada termo:
1(x^2+1)^3/2 + raizx^2+1(x^2+1)^3/2 = 1(x^2+1)^3/2 + 1(x^2+1)^1

Passo 3

Agora, temos a integral dividida em duas partes:
integral 1(x^2+1)^3/2 , dx + integral 1x^2+1 , dx
Vamos resolver cada uma separadamente.

Passo 4

Primeira integral:
Para resolver isso, usamos uma substituição trigonométrica. Sabemos que:
No nosso caso, , então:

Passo 5

Segunda integral:
integral 1x^2+1 , dx
Essa é uma integral padrão que resulta na função arco-tangente:
integral 1x^2+1 , dx = arctan(x) + C

Passo 6

Agora, juntando as duas partes que calculamos:
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral vale:
xraizx^2+1 + arctan(x) + C

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