Calcule as seguintes integrais
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de
Isso envolve conceitos de cálculo integral, especificamente de integrais que utilizam substituição e manipulação algébrica. Vamos precisar entender como simplificar a expressão e escolher uma boa substituição para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a integral. Vamos escrever o numerador de uma forma que facilite a divisão pelo denominador:
Simplificando cada termo:
Passo 3
Agora, temos a integral dividida em duas partes:
Vamos resolver cada uma separadamente.
Passo 4
Primeira integral:
Para resolver isso, usamos uma substituição trigonométrica. Sabemos que:
No nosso caso,
, então:
Passo 5
Segunda integral:
Essa é uma integral padrão que resulta na função arco-tangente:
Passo 6
Agora, juntando as duas partes que calculamos:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A integral vale: